作者：陈永高
页数：196
出版社：科学出版社
出版日期：2023
ISBN：9787030746306
电子书格式：pdf/epub/txt
内容简介
初等数论是用初等方法研究整数性质的一个数论分支。本书涵盖初等数论的基本理论与方法。第一章包含整除与同余的基本概念与性质、带余除法定理、辗转相处法、裴蜀定理、接近剩余系与简化剩余系、算术基本定理及其应用、欧拉定理与费马小定理、一次同余方程与中国剩余定理等。第二章包含二次剩余概念及简单性质、欧拉判别条件、二次互反律、两平方和定理、四平方和定理、阶的概念及简单性质、原根存在定理、高次同余方程。第三章包含二元一次不定方程、简单的高次不定方程、无穷递降法。第四章包含素数分布的初等性质、切比雪夫定理、Bertrand假设。第五章包含实数的有理逼近的简单知识。
本书特色
全国优秀教师带您进入初等数论教学课堂
深入浅出再现课堂氛围培养学生数学思维
国际数学奥林匹克中国队领队指痛处 点迷津
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目录
前言
第1章 整除与同余 1
1.1 整除 1
1.2 同余 8
1.3 素数与算术基本定理 15
1.4 欧拉定理与费马小定理 22
1.5 一次同余方程及威尔逊定理 24
1.6 中国剩余定理 29
第1章总习题 32
第2章 二次剩余与原根 34
2.1 同余方程 34
2.2 二次剩余的概念与欧拉判别法 40
2.3 二次互反律 44
2.4 两个整数的平方和 51
2.5 拉格朗日四平方和定理 53
2.6 阶的性质及升幂定理 57
2.7 原根 61
第2章总习题 67
第3章 不定方程 70
3.1 一次不定方程 70
3.2 不定方程 x2 + y2 = z2 75
3.3 费马无穷递降法与不定方程 x4 + y4 = z4 78
3.4 佩尔方程 79
第3章总习题 84
第4章 素数分布 86
4.1 n! 的标准分解式 86
4.2 整变量求和 88
4.3 切比雪夫定理 91
4.4 素数的倒数和 93
4.5 正整数的素因数个数 96
4.6 Bertrand 假设 103
第4章总习题 108
第5章 实数的有理逼近 109
5.1 法里数列 109
5.2 代数数的有理逼近与刘维尔定理 112
5.3 连分数 116
第5章总习题 124
第6章 数论题选讲与数论中未解决的问题 125
6.1 数论总复习题 125
6.2 数论总复习题解答 129
6.3 数论中未解决的问题 168
习题提示与解答 170
参考文献 185
节选
第1章 整除与同余 整除与同余是数论中最基本的概念， 本章将介绍整除的性质， 包括带余除法定理、裴蜀 (Bézout) 定理及 p 进制表示; 介绍同余的性质及其应用， 包括欧拉(Euler) 定理、费马 (Fermat) 小定理、中国剩余定理. 这些都是数论中最基本的性质与定理. 1.1 整除 整除是数论中最基本的概念， 本节将介绍整除的概念及相关内容. 定义 1.1.1 设 a， b 为整数， a .= 0， 若存在整数 k， 使得 b = ak， 则称 b 能被a 整除， 或 a 能整除 b， 记为 a | b. 若这样的 k 不存在， 则称 b 不能被 a 整除， 或a 不能整除 b， 记为 a . b. 若 a | b， 则称 a 为 b 的因数， b 为 a 的倍数. 基本性质 (1) 若 a | b， b | c， 则 a | c. (2) 若 m | a1， ，m | an， k1， ， kn 为整数， 则 定理 1.1.1(带余除法定理) 设 a， b 为整数， a .= 0， 则存在唯一的整数对 q， r， 使得 我们称 r 为 b 被 a 除所得的余数. 证明 存在性. 不妨设 a > 0. 设 q 是使得 aq . b 成立的最大的整数， 则，即.令 r = b-aq， 我们有 唯一性. 设 则 aq1 + r1 = aq2 + r2， 即 (1.1.1) 假设 q1 .= q2， 则 |a(q1.q2)| . |a|. 又 0 . r1， r2 b， 由带余除法定理知 由于 b > r1 > r2 > 及不超过 b 的正整数只有 b 个， 故上述过程一定会终止. 由定理 1.1.2 知 即辗转相除法的最后一个非零余数就是 a， b 的最大公约数. 由辗转相除法的关系式可得 特别地， (a， b) = aun + bvn. 由此很容易得到如下定理. 定理 1.1.3 (裴蜀定理) 对于任给的不全为零的整数 a， b， 总存在整数 u， v， 使得 au + bv = (a， b). 证明 若 a， b 中有一个为零， 不妨设 b = 0， 则取 u ∈ {.1， 1}， 使得 au = |a|. 这样， 对任何整数 v， 有 au + bv = |a| = (a， 0) = (a， b). 下设 a， b 均不为零. 由辗转相除法知， 存在整数 s， t， 使得 |a|s + |b|t = (|a|， |b|). 由最大公约数的定义知， (|a|， |b|) = (a， b). 取 u ∈ {.s， s}， v ∈ {.t， t}， 使得 |a|s = au， |b|t = bv. 这样， au + bv = (a， b). 裴蜀定理得证. 例 2 求 1491 与 3619 的最大公约数， 并求整数 u， v， 使得 1491u + 3619v = (1491， 3619). 解 首先对 1491 与 3619 进行辗转相除法: 3619 = 1491 × 2 + 637， 1491 = 637 × 2 + 217， 637 = 217 × 2 + 203， 217 = 203 × 1 + 14， 203 = 14 × 14 + 7， 14 = 7 × 2. 因此， (1491， 3619) = 7， 所以， 可取 u = -250， v = 103. 附注 例 2 中的 u， v 不唯一. 一般地， 有如下定理. 定理 1.1.4 对于任给的不全为零的整数 a1， ， an， 总存在整数 u1， ， un， 使得 证明 由于 a1a1 + + anan > 0， 故存在形如的正整数， 设是这样的正整数中最小的一个， 下证是 a1， ， an 的最大公约数， 即 令 d = a1u1 + + anun. 根据最大公约数的定义， 需要证明如下两点. 第一点: d 是 a1， ， an 的公约数. 第二点: a1， ， an 的公约数均不超过 d. 首先证明: d 为 a1， ， an 的公约数. 对每个 i， 由带余除法定理知. 由此知 简单整理后知， ri 也具有形式 又， 故由 d 的定义知， ri = 0， 即 d | ai. 这就证明了: d 为 a1， ， an 的公约数. 其次， 设 d′ 为 a1， ， an 的一个公约数， 则 d′ 为 a1u1 + + anun 的因数. 又 a1u1 + + anun > 0， 故 综上， d 为 a1， ， an 的最大公约数. 所以 定理 1.1.4 得证. 定理 1.1.3 的证明是构造性的证明， 给定 a， b 后， 由辗转相除法可得到 u， v. 定理 1.1.4 的证明是存在性的证明， 给定 a1， ， an， 不能利用证明得到 u1， ， un. 定理 1.1.5 对于任给的正整数 k 及不全为零的整数 a1， ， an， 总有 证明 只要证明: k(a1， ， an) 是 ka1， ， kan 的最大公约数. 根据最大公约数的定义， 只要证明如下两点. (1) k(a1， ， an) 为 ka1， ， kan 的一个公约数. (2) ka1， ， kan 的公约数均不超过 k(a1， ， an). 由于 故 即 k(a1， ， an) 为 ka1， ， kan 的一个公约数. 现设 d 为 ka1， ， kan 的一个公约数. 试图证明: d . k(a1， ， an). 由定理 1.1.4 知， 存在整数 u1， ， un， 使得 由此得 由于 d | kai (1 . i . n)， 故 即 d | k(a1， ， an). 从而 d . k(a1， ， an). 综上， k(a1， ， an) 为 ka1， ， kan 的最大公约数， 即 定理 1.1.5 得证. 定理 1.1.6 设 a1， ， an 是不全为零的整数， 则 d | a1， ， d | an 的充要条件是 d | (a1， ， an). 证明 充分性. 设 由于 故 必要性. 设. 由定理 1.1.4 知， 存在整数 u1， ， un， 使得 由知 即 d | (a1， ， an). 定理 1.1.6 得证. 定理 1.1.7 若 (a， b) = 1， 则 (a， bc) = (a， c). 证明 由 (a， c) | a， (a， c) | c 知 根据最大公约数的定义得 (a， c) . (a， bc). 由定理 1.1.3 知， 存在整数 u， v， 使得au + bv = (a， b) = 1. 由此得 acu + bcv = c. 因此， (a， bc) | c. 又 (a， bc) | a， 故根据最大公约数的定义得 (a， bc) . (a， c). 综上， (a， bc) = (a， c). 定理 1.1.7 得证. 定理 1.1.8 若 a | bc， (a， b) = 1， 则 a | c. 证明 由条件及定理 1.1.7 知， (a， c) = (a， bc) = |a|. 因此， |a| | c， 即 a | c. 定理 1.1.8 得证. 定理 1.1.9 若， 则 (a， b1 bn) = 1. 证明 反复利用定理 1.1.7 得 定理 1.1.9 得证. 下面介绍 p 进制， 通常我们用十进制表示数， 如 125 表示 102 + 2 10 + 5， 计算机使用的是二进制.
