高等数学(上册)

第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种特性 3

三、反函数与复合函数 5

四、函数的运算 6

五、初等函数 7

习题1-1 7

第二节 数列的极限 8

一、数列极限的定义 9

二、数列极限的几何意义 12

三、收敛数列的性质 13

习题1-2 15

第三节 数列极限的四则运算法则与极限
存在准则 16

一、 数列极限的四则运算法则 16

二、数列极限的存在准则 19

习题1-3 25

第四节 函数的极限 26

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 26

二、自变量趋于有限值时函数的极限 27

三、单侧极限 30

四、函数极限的性质 30

五、函数极限与数列极限的关系 31

习题1-4 32

第五节 函数极限的运算法则和两个重要极限
33

一、函数极限的四则运算法则 33

二、复合函数的极限运算法则 35

三、函数极限存在准则 36

四、两个重要极限 37

习题1-5 39

第六节 无穷小与无穷大 40

一、无穷小 40

二、无穷大 42

三、无穷小的比较 45

习题1-6 48

第七节 函数的连续性与间断点 49

一、函数连续性的定义 49

二、函数的间断点及其分类 51

习题1-7 55

第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性
56

一、连续函数的性质 56

二、初等函数的连续性 58

习题1-8 61

第九节 闭区间上连续函数的性质 62

一、有界性与最大值最小值定理 62

二、零点定理与介值定理 63

三、知识延展——一致连续性 65

习题1-9 67

总习题一 68

第二章 导数与微分 70

第一节 导数概念 70

一、引例 70

二、导数的定义 71

三、求导举例 74

四、函数可导性与连续性的关系 77

五、变化率模型 78

六、知识延展——分段函数在分界点处
可导性的判定 80

习题2-1 83

第二节 函数的求导法则 86

一、四则运算求导法则 86

二、反函数的求导法则 89

三、复合函数的求导法则 91

四、基本导数公式与求导法则 95

五、知识延展——几类函数的导数 96

习题2-2 97

第三节 高阶导数 99

一、高阶导数的概念 99

二、高阶导数的运算法则 102

三、知识延展——高阶导数的计算方法
104

习题2-3 106

第四节 隐函数的导数 107

一、隐函数的定义及求导方法 107

二、对数求导法 111

三、隐函数的常用求导方法小结 113

习题2-4 114

第五节 由参数方程所确定的函数的导数与
相关变化率 115

一、由参数方程所确定的函数的导数 115

二、相关变化率 123

习题2-5 126

第六节 函数的微分 127

一、微分的定义 127

二、可微与可导的关系 128

三、微分的几何意义 130

四、基本初等函数的微分公式及微分运算
法则 130

五、微分在近似计算中的应用 134

六、知识延展——高阶微分 136

习题2-6 138

总习题二 140

第三章 微分中值定理及导数的应用 143

第一节 微分中值定理及其应用 143

一、罗尔定理 143

二、拉格朗日中值定理 146

三、柯西中值定理 148

四、知识延展——广义罗尔定理 150

五、高阶挑战——达布定理 152

习题3-1 152

第二节 泰勒中值定理及其应用 155

一、泰勒多项式 155

二、泰勒中值定理 156

三、麦克劳林公式 158

四、近似计算 162

五、知识延展——泰勒公式的应用 163

习题3-2 167

第三节 洛必达法则 169

一、00型未定式 169

二、∞∞型未定式 173

三、其他类型未定式 175

四、知识延展——广义洛必达法则 182

习题3-3 183

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 185

一、函数单调性的判定法 185

二、曲线的凹凸性与拐点 188

三、知识延展——凸函数的几种定义 192

习题3-4 194

第五节 函数的极值与最值 195

一、函数的极值及其求法 196

二、最大值最小值问题 200

三、知识延展——定理3.5.3的推广 201

习题3-5 202

第六节 函数图形的描绘 203

一、曲线的渐近线 203

二、函数图形的描绘 204

习题3-6 206

第七节 曲率 207

一、曲率的概念 207

二、曲率的计算公式 209

三、曲率圆与曲率半径 212

四、知识延展——弧微分公式 214

习题3-7 215

总习题三 216

第四章 不定积分 219

第一节 不定积分的概念与性质 219

一、原函数与不定积分的概念 219

二、基本积分表 221

三、不定积分的性质 222

四、知识延展——不连续函数的原函数 224

习题4-1 225

第二节 第一类换元法 225

一、第一类换元法 226

二、知识延展——含有抽象函数的不定积分
234

习题4-2 235

第三节 第二类换元法 236

习题4-3 243

第四节 分部积分法 244

一、分部积分法 244

二、知识延展——推广的分部积分法 248

习题4-4 250

第五节 有理函数及可化为有理函数的
不定积分 252

一、有理函数的不定积分 252

二、知识延展——奥斯特洛格拉得斯基方法
258

三、三角函数有理式的不定积分 259

四、杂例 262

习题4-5 266

总习题四 267

第五章 定积分 269

第一节 定积分的概念与性质 269

一、引例 269

二、定积分的定义 270

三、定积分的存在条件 271

四、定积分的几何意义 272

五、定积分的性质 272

六、知识延展——定积分的进一步性质 273

习题51 274

第二节 定积分的计算 275

一、利用数列极限计算定积分 275

二、利用定积分的几何意义计算定积分
276

三、利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分
277

四、知识延展——定理5.2.1的更一般的
表述 278

习题52 279

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法
279

一、定积分的换元积分法 279

二、定积分的分部积分法 281

三、知识延展——定积分的换元积分法和
分部积分法的使用注意事项 282

习题53 283

第四节 积分上限的函数 284

一、积分上限的函数 284

二、积分上限函数的连续性 285

三、积分上限函数的可导性 286

四、知识延展——积分上限函数的相关结论
288

习题54 289

第五节 反常积分 290

一、问题提出 290

二、无穷限的反常积分 292

三、无界函数的反常积分 294

四、知识延展——反常积分的审敛法与
Γ函数 297

习题55 302

第六节 定积分相关综合问题 303

一、常用结论 303

二、含参数的积分的极限问题 310

三、积分不等式的证明 312

习题56 315

总习题五 316

第六章 定积分的应用 318

第一节 定积分的元素法 318

第二节 定积分在几何学上的应用 320

一、平面图形的面积 320

二、立体的体积 325

三、平面曲线的弧长 331

四、知识延展——旋转曲面的面积 333

习题6-2 335

第三节 定积分在物理学上的应用 336

一、变力沿直线所做的功 337

二、水压力 339

三、引力 342

习题6-3 343

总习题六 345

第七章 微分方程 347

第一节 微分方程的基本概念 347

一、微分方程的基本概念 347

二、知识延展——微分方程建模 351

习题7-1 353

第二节 可分离变量的微分方程 354

一、可分离变量的微分方程的定义 354

二、可分离变量的微分方程的解法 354

三、知识延展——变量代换法求解微分方程
357

习题7-2 358

第三节 齐次方程 359

一、齐次方程的定义 359

二、齐次方程的解法 360

三、知识延展——可化为齐次的方程 362

习题7-3 363

第四节 一阶线性微分方程 364

一、线性方程 364

二、伯努利方程 367

三、知识延展——两种类型一阶隐式方程
的解法 369

习题7-4 371

第五节 可降阶的高阶微分方程 372

一、y(n)=f(x)型的微分方程 372

二、y″=f(x, y′)型的微分方程 373

三、y″=f(y, y′)型的微分方程 374

习题7-5 375

第六节 高阶线性微分方程 376

一、高阶线性微分方程的基本概念 376

二、齐次线性微分方程的解的结构 377

三、非齐次线性微分方程的解的结构 380

习题7-6 382

第七节 常系数齐次线性微分方程 382

一、常系数齐次线性微分方程的基本概念
382

二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解
383

三、n阶常系数齐次线性微分方程的通解
386

习题7-7 389

第八节 常系数非齐次线性微分方程 389

一、f(x)=eλxPm(x)形式 390

二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］
形式 392

三、知识延展——微分方程的复值解 394

习题7-8 396

总习题七 396

参考文献 398