整体微分几何初步-现代数学基础-(第三版)

第0章 E3中曲线和曲面的局部概论§1 E3中的曲线1．1 曲线的表示1．2 曲线的nenet标架曲率和挠率1．3 曲线论的基本公式和基本定理§2 E3中的曲面2．1 曲面的表示2．2 曲面上的活动标架第·基本形式2．3 长度、角度和面积元2．4 常见曲面§3 曲面上的曲率3．1 曲面的第二基本形式3．2 Weingarten变换主曲率3．3 Gauss曲率平均曲率曲率线3．4 Gauss映射第三基本形式§4 曲面的局部理论4．1 自然标架的基本公式4．2 测地曲率测地线4．3 法坐标与测地极坐标第一章 活动标架法§1 幺正标架1．1 幺正标架1．2 双参数下的外乘法与外微分1．3 幺正标架的运动方程§2 外微分形式2．1 外代数2．2 外微分形式2．3 外微分2．4 微分形式的积分§3 可积系统3．1 E3的结构方程3．2 Frobenius定理§4 曲线和曲面的基本定理4．1 曲线论基本定理4．2 用活动幺正标架研究曲面4．2．1 联络与第二基本形式4．2．2 测地曲率的Liouville公式4．2．3 Gauss美妙定理4．3 曲面论基本定理第二章 曲线的整体微分几何§1 平面曲线的某些整体性质1．1 等周不等式1．2 曲线的旋转指标1．2．1 映射的度数1．2．2 旋转指标定理1．3 凸闭曲线§2 空间曲线的某些整体性质2．1 球面上的Crofton公式2．2 空间曲线的全曲率2．3 空间曲线的全挠率第三章 E3中曲面的整体微分几何§1 曲面的GallSS—Bonnet公式1．1 曲面的整体描述1．2 Gauss—Bonnet公式§2 Liebmann定理2．1 球面的刚性2．2 两个引理2．3 Liebmann定理的证明§3 凸曲面和积分公式3．1 凸曲面的：Hadamal’d定理3．2 CohnVossen定理3．3 Minkowski积分公式§4 MinkOWSki问题和C11ristoffel问题的唯一性4．1 概述4．2 基本公式4．3 Minkowski问题的唯一性4．4 Christoffel问题的唯一性§5 全平均曲率与willmore猜想5．1 全平均曲率5．2 球面的一个特征5．3 环面的全平均曲率5．4 Lenchel定理§6 常负曲率曲面和Backlund变换6．1 常负曲率曲面和SG方程6．2 伪球线汇和焦曲面6．3 B／icklund变换§7 Hilbert定理7．1 负曲率曲面上的渐近线网7．2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网7．3 定理的证明§8 Hartman—Nirenberg定理8．1 预备引理8．2 定理的证明§9 极小曲面的Bernstein定理9．1 共变微分和Laplacian△9．2 关于GatlSS曲率的计算9．3 极小图的Gauss曲率计算9．4．Bernstein定理的证明§10 常平均曲率曲面10．1 面积的变分10．2 保体积的变分10．3 Hopf定理第四章 曲面的内蕴几何学§1 曲面上的向量场1．1 曲面上的向量场1．2 曲面上向量场的平行移动1．3 向量场的奇点1．4 抽象曲面上的向量场§2 测地线与完备曲面2．1 测地线2．2 指数映射exp2．3 测地线的最短性2．4 完备性§3 弧长的第一变分3．1 曲线的变分3．2 第一变分公式3．3 第一变分公式的应用§4 弧长的第二变分及Jacobi场4．1 弧长的第二变分公式4．2 Jacobi场4．3 共轭点§5 曲率与拓扑5．1 曲率与Jacclbi场5．2 Gauss曲率非正的曲面§6 闭测地线与基本群6．1 闭测地线与基本群6．2 覆盖空间与闭测地线6．3 紧致闭曲面上的闭测地线第五章 高维欧氏空间的超曲面第六章 Finsler几何中的某些变分计算附录A欧氏空间点集拓扑概要附录B曲面的拓扑分类本书参考文献索引