微积分学习指导-(下册)

作者：齐淑华

页数：160

出版社：清华大学出版社

出版日期：2019

ISBN：9787302533061

电子书格式：pdf/epub/txt

内容简介

　　《微积分学习指导（下册）/大学数学基础丛书》是与我们编写的教材《微积分》配套的辅导用书。书中按教材章节顺序编排，与教材保持一致。全书共4章，每章又分4个板块，即大纲要求与重点内容、内容精要、题型总结与典型例题、课后习题解答，以起到同步辅导的作用，帮助学生克服学习中遇到的困难。

作者简介

王金芝，博士学位，副教授，大连民族大学理学院教师。从事教学工作二十余年，主要数学类从事公共基础课教学工作。主持或参加过多项省部级科研项目和教改项目，发表过近20篇学术论文。

本书特色

本学习指导是与我们编写的教材《微积分》配套的辅导用书。书中按教材章节顺序编排，与教材保持一致。全书共4章，每章又分4个板块，即大纲要求与重点内容、内容精要、题型总结与典型例题、课后习题解答，以起到同步辅导的作用，帮助学生克服学习中遇到的困难。

目录

节选

第1章 多元函数微分学 1.1大纲要求及重点内容
1. 大纲要求
（1) 理解二元函数的概念,了解多元函数的概念,会求二元函数的定义域。
（2) 了解二元函数的极限与连续性的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质。
（3) 理解二元函数偏导数与全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。
（4) 掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数。
（5) 会求隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶和二阶偏导数。
（6) 理解二元函数极值与条件极值的概念,会求二元函数的极值,了解求条件极值的拉格朗日乘数法,会求一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。
2. 重点内容
（1) 偏导数和全微分的概念。
（2) 求多元复合函数的一阶、二阶偏导数。
（3) 求隐函数的一阶、二阶偏导数。
（4) 多元函数的极值，包括无条件极值和条件极值。
（5) 利用多元函数解决实际应用中的最大值、最小值问题以及在一定条件下的最大值、最小值问题。 1.2内容精要
1. 基本概念 （1) 二元函数的定义设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y)，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即z=f(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量。点集D称为该函数的定义域，数集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为该函数的值域。
类似地，可定义三元及三元以上函数。当n≥2时,n元函数统称为多元函数。
（2) 二元函数的几何意义设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的P(x,y)∈D，对应的函数值为z=f(x,y)，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)，当P(x,y)取遍D上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D}，这个点集称为二元函数的图形。二元函数z=f(x,y)的图形就是空间中区域D上的一张曲面，定义域D是该曲面在xOy面上的投影。
（3) 二元函数的极限设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A，则称A为函数z=f(x,y)当(x,y) →(x0,y0)时的极限，记为 limx→x0
y→y0f(x,y)=A， 或 f(x,y)→A（(x,y)→(x0,y0)）， 也记作 limP→P0f(P)=A或f(P)→A(P→P0)。 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述。为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限。 第1章多元函数微分学 1.2内容精要 说明：
① 定义中P→P0的方式是任意的；
② 二元函数的极限运算法则与一元函数类似。
(4) 二元函数的连续性设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果 limx→x0
y→y0f(x,y)=f(x0,y0), 则称z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续。如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数z=f(x,y)在(x0,y0)处间断。
如果z=f(x,y)在区域D内每一点都连续,则称该函数在区域D内连续。在区域D上连续的二元函数的图形是区域D上的一张连续曲面,曲面上没有洞,也没有撕裂的地方。
（5) 偏导数的定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时,相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)。如果 limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记为 祕祒x=x0
y=y0，
礷祒x=x0
y=y0，
zxx=x0
y=y0或fx(x0,y0)。 例如，有 fx(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx=limx→x0f(x,y0)－f(x0,y0)x－x0。 类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为 fy(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0)Δy=limy→y0f(x0,y)－f(x0,y0)y－y0, 记为 祕祔x=x0
y=y0，
礷祔x=x0
y=y0，
zyx=x0
y=y0或fy(x0,y0)。 实际上,偏导数本质上是一元函数的导数，f′x(x0,y0)就是一元函数φ(x)=f(x,y0)在x=x0处的导数，即 fx(x0,y0)=φ′(x0)=df(x,y0)dxx=x0=(f(x,y0))′x|x=x0; 而偏导数fy(x0,y0)是一元函数ψ(y)=f(x0,y)在y=y0处的导数，即 fy(x0,y0)=ψ′(y0)=df(x0,y)dyy=y0=(f(x0,y))′y|y=y0。 如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数，记作祕祒，礷祒，zx或fx(x,y)。同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，记作祕祔，礷祔，zy或fy(x,y)。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数。