作者：席南华,张晓,付保华等主编
页数：237
出版社：科学出版社
出版日期：2018
ISBN：9787030546159
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内容简介
中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2015年数学所讲座9个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排。具体内容包括：三维复双有理几何、图论、双哈密顿系统与可积系统、二维共形量子场论、描述集合论、拓扑量子场论和几何不变量、图像恢复问题中的数学方法、湍流、表示论中的狄拉克上同调等。
本书特色
中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2015年数学所讲座9个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排。具体内容包括：三维复双有理几何、图论、双哈密顿系统与可积系统、二维共形量子场论、描述集合论、拓扑量子场论和几何不变量、图像恢复问题中的数学方法、湍流、表示论中的狄拉克上同调等。
目录
1 从形式化的终极奇点的组合律到复三维精细双有理几何
1.1 问题的背景
1.1.1 序言
1.1.2 高维双有理几何概述
1.1.3 三维代数簇的精细分类问题
1.2 奇点篮及其组合数学
1.2.1 三维终极奇点
1.2.2 Reid的奇点篮及黎曼-洛克公式
1.2.3 组合意义下的终极奇点
1.2.4 奇点篮的典范序列
1.2.5 基本挤压数εn（B）的计算
1.3 加权奇点篮的计算公式和关键不等式
1.3.1 加权奇点篮与不变量
1.3.2 加权奇点篮的挤压偏序及其性质
1.3.3 加权奇点篮的典范序列
1.3.4 用欧拉特征标表示奇点篮-
1.4 形式化奇点篮的组合律的几何应用
1.4.1 几何奇点篮
1.4.2 一般型三维簇的精细双有理几何
1.4.3 有理法诺三维簇的精细有界性
1.4.4 加权完全交三维簇的完整分类
参考文献
2 图论中的若干问题
2.1 七桥问题
2.2 欧拉图分解及相关问题
2.3 四色问题
2.4 哈密顿圈问题
2.5 Ramsey数问题
2.6 整数流问题
2.7 子图和问题
2.8 图论的应用
附记
参考文献
3 双哈密顿上同调与非线性可积系统
3.1 引言
3.2 KdV方程簇及其双哈密顿结构
3.3 无穷维哈密顿结构及其上同调
3.4 双哈密顿结构及其上同调
3.5 流体力学型双哈密顿结构的拓扑形变
3.6 结尾
参考文献
4 二维共形量子场论：数学定义和顶点算子代数表示理论方法
4.1 引言
4.2 定义、早期结果和猜想
4.2.1 定义
4.2.2 Verlinde猜想和Verlinde公式
4.2.3 Moore-Seiberg多项式方程和猜想
4.2.4 Witten的猜想和问题
4.2.5 关于Calabi-Yau非线性西格玛模型的猜想
4.2.6 中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类猜想
4.2.7 早期结果和猜想所提出的数学问题
4.3 一个长期研究纲领和已经解决的主要问题
4.3.1 一个构造和研究共形场论的长期纲领
4.3.2 顶点算子代数的几何
4.3.3 交错算子和顶点张量范畴
4.3.4 模不变性
4.3.5 Verlinde公式、刚性和模性性质
4.3.6 全共形场论和开一闭共形场论
4.3.7 上同调和变形理论
4.3.8 顶点算子代数的扭曲模和不动点子代数
4.3.9 关于Schellekens分类猜想的研究进展
4.4 有待解决的问题和猜想
4.4.1 构造满足Kontsevich-Segal-Moore-Seiberg公理的有理共形场论
4.4.2 阶限制顶点代数上同调理论和模的完全可约性
4.4.3 共形场论的模空间
4.4.4 对数共形场论的构造和研究
4.4.5 轨形共形场论
4.4.6 月光模顶点算子代数的唯一性和中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类-
4.4.7 CalabiYau超共形场论
4.4.8 顶点算子代数方法和共形网方法的关系
参考文献
5 等价关系、分类问题与描述集合论
5.1 等价关系
5.2 作为等价关系的分类问题
5.3 等价关系的描述集合论
5.4 不变量描述集合论
5.5 轨道等价关系
5.6 非轨道等价关系
5.7 结论与前景
参考文献
6 拓扑量子场论和几何不变量
参考文献
7 图像恢复问题中的数学方法
7.1 绪论
7.2 小波框架方法
7.2.1 小波框架变换
7.2.2 小波框架变换对图像的逼近
7.2.3 小波框架图像恢复模型与算法
7.3 PDE方法
7.3.1 全变差
7.3.2 广义全变差
7.3.3 Mumford-Shah模型
7.3.4 Perona-Malik方程
7.4 小波框架和PDE方法的联系与融合
7.4.1 小波框架模型和变分模型的联系
7.4.2 小波框架迭代算法和PDE模型的联系
7.5 数据驱动稀疏表达
7.5.1 随机方法
7.5.2 K-SVD：基于过完备字典的稀疏表达
7.5.3 数据驱动的紧框架构造
7.5.4 用深层神经网络进行图像降噪和修补
7.5.5 用深层卷积神经网络实现图像超分辨
参考文献
8 湍流：19世纪的问题，21世纪的挑战
参考文献
9 表示论中的Dirac上同调
9.1 引言
9.1.1 起源
9.1.2 概述
9.2 关于Dirac上同调的Vogan猜想
9.2.1 实约化群与（g，K）-模
9.2.2 Dirac算子的定义
9.2.3 Vogan猜想及推广
9.3 Harish-Clmndra模的Dirac上同调
9.3.1 有限维模的Dirac上同调
9.3.2 酉Aq（λ）-模的Dirac上同调
9.4 Dirac上同调与（g，K）-上同调
9.4.1 （g，K）-上同调
9.4.2 Dirac上同调与（g，K）-上同调的关系
9.5 最高权模的Dirac上同调
9.5.1 Kostant立方Dirac算子
9.5.2 Oq范畴
9.5.3 不可约最高权模的Dirac上同调
9.6 Dirac上同调与μ-上同调
9.6.1 μ-上同调
9.6.2 p+-上同调、μ-上同调与Dirac上同调
9.7 Dirac上同调的分步计算
9.8 K-特征标与分歧律
9.8.1 最低权模的K-特征标与Dirac指标
9.8.2 OnC GLn与Sp2n C GL2n的分歧律
9.8.3 GLn C SO2r与GLn C Sp2n的分歧律
9.9 椭圆表示与内窥理论
9.9.1 椭圆表示
9.9.2 正交关系与超缓增广义函数
9.9.3 有正则无穷小特征标的椭圆表示
9.9.4 离散序列表示的伪系数函数
9.9.5 内窥传递
9.9.6 亚椭圆表示
参考文献
汉英术语对照
1.1 问题的背景
1.1.1 序言
1.1.2 高维双有理几何概述
1.1.3 三维代数簇的精细分类问题
1.2 奇点篮及其组合数学
1.2.1 三维终极奇点
1.2.2 Reid的奇点篮及黎曼-洛克公式
1.2.3 组合意义下的终极奇点
1.2.4 奇点篮的典范序列
1.2.5 基本挤压数εn（B）的计算
1.3 加权奇点篮的计算公式和关键不等式
1.3.1 加权奇点篮与不变量
1.3.2 加权奇点篮的挤压偏序及其性质
1.3.3 加权奇点篮的典范序列
1.3.4 用欧拉特征标表示奇点篮-
1.4 形式化奇点篮的组合律的几何应用
1.4.1 几何奇点篮
1.4.2 一般型三维簇的精细双有理几何
1.4.3 有理法诺三维簇的精细有界性
1.4.4 加权完全交三维簇的完整分类
参考文献
2 图论中的若干问题
2.1 七桥问题
2.2 欧拉图分解及相关问题
2.3 四色问题
2.4 哈密顿圈问题
2.5 Ramsey数问题
2.6 整数流问题
2.7 子图和问题
2.8 图论的应用
附记
参考文献
3 双哈密顿上同调与非线性可积系统
3.1 引言
3.2 KdV方程簇及其双哈密顿结构
3.3 无穷维哈密顿结构及其上同调
3.4 双哈密顿结构及其上同调
3.5 流体力学型双哈密顿结构的拓扑形变
3.6 结尾
参考文献
4 二维共形量子场论：数学定义和顶点算子代数表示理论方法
4.1 引言
4.2 定义、早期结果和猜想
4.2.1 定义
4.2.2 Verlinde猜想和Verlinde公式
4.2.3 Moore-Seiberg多项式方程和猜想
4.2.4 Witten的猜想和问题
4.2.5 关于Calabi-Yau非线性西格玛模型的猜想
4.2.6 中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类猜想
4.2.7 早期结果和猜想所提出的数学问题
4.3 一个长期研究纲领和已经解决的主要问题
4.3.1 一个构造和研究共形场论的长期纲领
4.3.2 顶点算子代数的几何
4.3.3 交错算子和顶点张量范畴
4.3.4 模不变性
4.3.5 Verlinde公式、刚性和模性性质
4.3.6 全共形场论和开一闭共形场论
4.3.7 上同调和变形理论
4.3.8 顶点算子代数的扭曲模和不动点子代数
4.3.9 关于Schellekens分类猜想的研究进展
4.4 有待解决的问题和猜想
4.4.1 构造满足Kontsevich-Segal-Moore-Seiberg公理的有理共形场论
4.4.2 阶限制顶点代数上同调理论和模的完全可约性
4.4.3 共形场论的模空间
4.4.4 对数共形场论的构造和研究
4.4.5 轨形共形场论
4.4.6 月光模顶点算子代数的唯一性和中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类-
4.4.7 CalabiYau超共形场论
4.4.8 顶点算子代数方法和共形网方法的关系
参考文献
5 等价关系、分类问题与描述集合论
5.1 等价关系
5.2 作为等价关系的分类问题
5.3 等价关系的描述集合论
5.4 不变量描述集合论
5.5 轨道等价关系
5.6 非轨道等价关系
5.7 结论与前景
参考文献
6 拓扑量子场论和几何不变量
参考文献
7 图像恢复问题中的数学方法
7.1 绪论
7.2 小波框架方法
7.2.1 小波框架变换
7.2.2 小波框架变换对图像的逼近
7.2.3 小波框架图像恢复模型与算法
7.3 PDE方法
7.3.1 全变差
7.3.2 广义全变差
7.3.3 Mumford-Shah模型
7.3.4 Perona-Malik方程
7.4 小波框架和PDE方法的联系与融合
7.4.1 小波框架模型和变分模型的联系
7.4.2 小波框架迭代算法和PDE模型的联系
7.5 数据驱动稀疏表达
7.5.1 随机方法
7.5.2 K-SVD：基于过完备字典的稀疏表达
7.5.3 数据驱动的紧框架构造
7.5.4 用深层神经网络进行图像降噪和修补
7.5.5 用深层卷积神经网络实现图像超分辨
参考文献
8 湍流：19世纪的问题，21世纪的挑战
参考文献
9 表示论中的Dirac上同调
9.1 引言
9.1.1 起源
9.1.2 概述
9.2 关于Dirac上同调的Vogan猜想
9.2.1 实约化群与（g，K）-模
9.2.2 Dirac算子的定义
9.2.3 Vogan猜想及推广
9.3 Harish-Clmndra模的Dirac上同调
9.3.1 有限维模的Dirac上同调
9.3.2 酉Aq（λ）-模的Dirac上同调
9.4 Dirac上同调与（g，K）-上同调
9.4.1 （g，K）-上同调
9.4.2 Dirac上同调与（g，K）-上同调的关系
9.5 最高权模的Dirac上同调
9.5.1 Kostant立方Dirac算子
9.5.2 Oq范畴
9.5.3 不可约最高权模的Dirac上同调
9.6 Dirac上同调与μ-上同调
9.6.1 μ-上同调
9.6.2 p+-上同调、μ-上同调与Dirac上同调
9.7 Dirac上同调的分步计算
9.8 K-特征标与分歧律
9.8.1 最低权模的K-特征标与Dirac指标
9.8.2 OnC GLn与Sp2n C GL2n的分歧律
9.8.3 GLn C SO2r与GLn C Sp2n的分歧律
9.9 椭圆表示与内窥理论
9.9.1 椭圆表示
9.9.2 正交关系与超缓增广义函数
9.9.3 有正则无穷小特征标的椭圆表示
9.9.4 离散序列表示的伪系数函数
9.9.5 内窥传递
9.9.6 亚椭圆表示
参考文献
汉英术语对照
