数值分析

目录前言第1章 绪论1.1 数值分析的研究对象、任务及特点11.1.1 科学计算、计算数学与数值分析11.1.2 数值分析的研究对象及特点21.2 数值计算的误差31.2.1 误差来源与分类31.2.2 误差与有效数字41.2.3 误差估计61.3 数值计算的若干原则81.4 常用数值计算软件简介13习题1 14实验1 15第2章 线性方程组的直接解法162.1 高斯消元法172.2 追赶法202.3 直接三角分解法232.3.1 杜利特尔法232.3.2 列主元杜利特尔法30最2.3.3 改进的平方根法32习题2 33实验2 34第3章 线性方程组的迭代解法363.1 迭代解法的基本概念363.1.1 向量范数和矩阵范数363.1.2 向量序列与矩阵序列的极限413.1.3 迭代解法的构造及其收敛性423.2 几种常见的迭代解法443.2.1 雅可比迭代法443.2.2 高斯-赛德尔迭代法463.2.3 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法的收敛性473.3 松弛迭代解法及收敛性503.3.1 松弛迭代解法503.3.2 松弛迭代解法的收敛性52最3.4 共轭梯度法与预处理共轭梯度法543.4.1 共轭梯度法543.4.2 预处理共轭梯度法61习题3 64实验3 66第4章 非线性方程(组)的数值解法684.1 非线性方程求根与二分法684.2 不动点迭代法及其收敛性734.2.1 不动点与不动点迭代法734.2.2 不动点迭代法的收敛性75最4.2.3 迭代收敛的加速方法784.3 牛顿迭代法844.3.1 牛顿迭代法及其收敛性844.3.2 简化牛顿迭代法与牛顿下山法914.3.3 重根情形94最4.4 弦截法与抛物线法954.4.1 弦截法954.4.2 抛物线法974.5 非线性方程组的数值解法994.5.1 不动点迭代法1004.5.2 非线性方程组牛顿迭代法102习题4 103实验4 104第5章 矩阵特征值与特征向量的计算1065.1 特征值估计1075.2 幂法与反幂法1105.2.1 幂法1105.2.2 反幂法1185.3 正交变换与约化矩阵1225.3.1 豪斯霍尔德变换1235.3.2 吉文斯变换1265.3.3 约化一般矩阵128最5.4 矩阵分解和QR算法1335.4.1 QR算法1355.4.2 带原点平移的QR算法139习题5 140实验5 143第6章 插值法1446.1 拉格朗日插值1456.1.1 线性插值与抛物线插值1456.1.2 拉格朗日插值多项式1486.1.3 插值余项与误差估计1496.2 牛顿插值1526.2.1 差商及其性质1526.2.2 牛顿插值多项式及其插值余项1536.3 埃尔米特插值1566.3.1 埃尔米特插值多项式1566.3.2 埃尔米特插值余项1586.4 分段低次插值1606.4.1 龙格现象与分段线性插值1606.4.2 分段三次埃尔米特插值1636.5 三次样条插值1646.5.1 三次样条函数1656.5.2 三转角方法1666.5.3 三弯矩方法168习题6 172实验6 174第7章 函数逼近与最线拟合1757.1 最佳逼近1757.1.1 最佳逼近与范数选取1757.1.2 最佳平方逼近及其计算1797.2 正交化方法1827.2.1 正交多项式的基本性质和表征方法1827.2.2 常用正交多项式1847.2.3 最佳平方逼近的正交化方法1887.3 最线拟合1917.3.1 最小二乘拟合1917.3.2 最线拟合的线性化方法195最7.4 傅里叶变换1967.4.1 离散傅里叶变换1977.4.2 快速傅里叶变换200习题7 204实验7 205第8章 数值积分与数值微分2078.1 插值型求积公式2088.1.1 数值求积公式的构造及代数精度2088.1.2 梯形求积公式2108.1.3 辛普森求积公式2128.1.4 牛顿-科茨求积公式2148.1.5 求积公式的数值稳定性2168.2 复化求积公式2178.2.1 复化梯形公式2178.2.2 复化辛普森公式2198.3 龙贝格求积公式2228.3.1 变步长的梯形公式2228.3.2 龙贝格求积公式224最8.3.3 理查森外推加速法228最8.4 高斯求积公式2298.4.1 高斯点2298.4.2 高斯-勒让德公式2318.5 数值微分2338.5.1 插值型求导公式2348.5.2 三次样条函数求导2368.5.3 数值微分的外推算法236习题8 238实验8 239第9章 常微分方程初值问题数值解法2409.1 简单的数值方法2419.1.1 欧拉法2419.1.2 后退欧拉法2439.1.3 梯形公式2469.1.4 改进欧拉法2479.2 龙格-库塔方法2509.2.1 显式龙格-库塔方法的一般形式2509.2.2 二阶显式龙格-库塔方法2519.2.3 三阶与四阶显式龙格-库塔方法253最9.2.4 变步长的龙格-库塔方法2569.3 单步法的收敛性与稳定性2579.3.1 收敛性与相容性2579.3.2 绝对稳定性和绝对稳定域2609.4 线性多步法2649.4.1 基于数值积分的构造方法2649.4.2 基于泰勒展开的构造方法2679.4.3 预测-校正方法271最9.5 线性多步法的收敛性和稳定性2739.5.1 相容性与收敛性2739.5.2 稳定性与绝对稳定性274习题9 275实验9 276参考文献278附录 APython基本语法281A.1 输出函数(print)281A.2 输入函数(input).281A.3 注释282A.4 变量282A.5 基本数据类型283A.6 类型转换函数284A.7 运算符285A.8 语句289A.9 容器292附录B 部分习题参考答案301