作者：成立社
页数：461
出版社：科学出版社
出版日期：2022
ISBN：9787030723505
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内容简介
本书第二版根据教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会制定的经济管理类本科数学基础课程教学基本要求，结合作者多年在微积分课程的教学实践与教学改革所积累的教学经验，并借鉴国内外同类教材的精华编写而成.全书共11章，内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及其应用、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数徽分学、二重积分、常微分方程与差分方程，书末还有4个附录，书中以经济、管理类学生易于接受与理解的方式，科学系统地编写了微积分的基本内容，各章重点介绍了微积分在经济、金融及管理方面的应用.本书可作为高等学校经济、管理专业以及相关专业本科生教材，也可作为报考上述专业硕士研究生人学数学考试备考用书，也可作为其他非数学专业学生微积分教材或参考书.
目录
目录
第1章 函数 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的运算 1
1.1.3 实数的绝对值及其性质 2
1.1.4 区间与邻域 3
习题1.1 4
1.2 函数的概念与具有某种特性的函数 4
1.2.1 常量与变量 4
1.2.2 函数的概念 4
1.2.3 具有某种特性的函数 7
习题1.2 10
1.3 反函数与复合函数 11
1.3.1 反函数 11
1.3.2 复合函数 12
习题1.3 13
1.4 基本初等函数与初等函数 14
1.4.1 基本初等函数 14
1.4.2 初等函数 17
习题1.4 18
1.5 函数关系的建立及经济学中常用的函数 18
1.5.1 函数关系的建立 18
1.5.2 经济学中常用的函数 19
习题1.521
阅读材料 第1章 知识要点 21
第2章 极限与连续 22
2.1 数列的极限 22
2.1.1 数列的基本概念 22
2.1.2 数列极限的定义 23
2.1.3 收敛数列的几个性质 26
习题2.1 27
2.2 函数的极限与极限的性质 27
2.2.1 x→∞时，函数f(x)的极限 27
2.2.2 x→x0时函数f(x)的极限 28
2.2.3 极限的性质 31
习题2.2 33
2.3 无穷小量与无穷大量 33
2.3.1 无穷小量的概念 33
2.3.2 无穷小的运算性质 34
2.3.3 无穷小与函数极限之间的关系 35
2.3.4 无穷大量 35
习题2.3 37
2.4 极限的运算法则与两个重要极限 37
2.4.1 极限的四则运算法则 37
2.4.2 复合函数的极限运算法则 40
2.4.3 极限存在准则与两个重要极限 42
最2.4.4 极限在经济学中的应用 49
习题2.4 50
2.5 无穷小的比较 53
2.5.1 无穷小比较的概念 53
2.5.2 等价无穷小替换定理 54
习题2.5 57
2.6 函数的连续性 58
2.6.1 连续函数的概念 59
2.6.2 连续函数的运算性质及初等函数的连续性 60
2.6.3 函数的间断点及其分类 62
2.6.4 闭区间上连续函数的性质 64
习题2.6 66
阅读材料 第2章 知识要点 68
第3章 导数与微分 69
3.1 导数的概念 69
3.1.1 概念的引入 69
3.1.2 导数的定义 70
3.1.3 导数的意义 72
3.1.4 函数的可导性与连续性之间的关系 73
3.1.5 一些基本初等函数的导数及求导举例 74
习题3.1 76
3.2 求导法则及隐函数与参数式函数的求导法 78
3.2.1 函数的四则运算的求导法则 78
3.2.2 反函数的求导法则 80
3.2.3 复合函数的求导法则 81
3.2.4 导数基本公式汇总及求导举例 84
3.2.5 隐函数与参数式函数的求导法 85
习题3.2 88
3.3 高阶导数 90
3.3.1 高阶导数的概念 90
3.3.2 高阶导数运算法则与几个初等函数的n阶导数公式 91
3.3.3 隐函数及参数式函数的二阶导数 93
习题3.3 94
3.4 函数的微分 95
3.4.1 微分的概念 96
3.4.2 可微与可导之间的关系 96
3.4.3 微分的几何意义 98
3.4.4 微分基本公式与微分运算法则 98
3.4.5 一阶微分的形式不变性 99
3.4.6 微分在近似计算中的应用 100
习题3.4 101
3.5 导数在经济分析中的初步应用——边际分析 102
3.5.1 边际的概念 102
3.5.2 经济学中常见的边际函数 103
习题3.5 105
阅读材料 第3章 知识要点 105
第4章 微分中值定理与导数应用 106
4.1 微分中值定理 106
4.1.1 罗尔定理 106
4.1.2 拉格朗日中值定理 107
4.1.3 柯西中值定理 110
习题4.1 111
4.2 洛必达法则 112
4.2.1 第一类未定式的极限 113
4.2.2 第二类未定式的极限 116
4.2.3 第三类未定式的极限 117
习题4.2 119
4.3 函数单调性的判定 120
4.3.1 函数单调性的判定法 120
4.3.2 函数单调性判定法的其他应用 122
习题4.3 123
4.4 函数的极值与最值 124
4.4.1 函数的极值及其求法 124
4.4.2 函数的最大值与最小值 127
4.4.3 函数最值在经济分析中的应用举例 129
习题4.4 132
4.5 曲线的凹凸性与拐点 133
4.5.1 曲线的凹凸性及其判定法 133
4.5.2 曲线的拐点及其求法 135习题4.5136
4.6 函数图形的描绘 137
4.6.1 曲线的渐近线 137
4.6.2 函数作图 140
习题4.6 141
4.7 导数在经济分析中的进一步应用——弹性分析 142
4.7.1 弹性的概念 142
4.7.2 经济学中常见的弹性函数及需求弹性与收益的关系 143
习题4.7146
阅读材料 第4章 知识要点 147
第5章 不定积分 148
5.1 不定积分的概念与性质 148
5.1.1 原函数与不定积分的概念 148
5.1.2 不定积分的几何意义 150
5.1.3 不定积分的性质 150
5.1.4 基本积分公式 151
5.1.5 不定积分在经济方面的简单应用举例 153
习题5.1 154
5.2 换元积分法 155
5.2.1 第一换元法(凑微分法)155
5.2.2 第二换元法 160
习题5.2 165
5.3 分部积分法 167
习题5.3 172
最5.4 两种特殊类型函数的积分方法 173
5.4.1 有理函数的积分 174
5.4.2 三角函数有理式的积分 176
习题5.4 178
阅读材料 第5章 知识要点 178
第6章 定积分及其应用 179
6.1 定积分的概念与性质 179
6.1.1 定积分概念的引入举例 179
6.1.2 定积分的定义 181
6.1.3 定积分的性质 183
6.1.4 定积分的几何意义 187
习题6.1188
6.2 微积分基本定理与基本公式 189
6.2.1 微积分基本定理 189
6.2.2 微积分基本公式 192
习题6.2194
6.3 定积分的换元积分法与分部积分法 197
6.3.1 定积分的换元积分法 197
6.3.2 定积分的分部积分法 200
习题6.3 202
6.4 定积分的应用 204
6.4.1 定积分的微元法 205
6.4.2 定积分的几何应用 206
6.4.3 定积分在经济方面的应用举例 211
习题6.4214
6.5 广义积分初步 216
6.5.1 无穷区间上的广义积分 216
6.5.2 无界函数的广义积分 218
6.5.3 Γ函数 220
习题6.5 222
阅读材料 第6章 知识要点 223
第7章 无穷级数 224
7.1 常数项级数的概念与性质 224
7.1.1 常数项级数的概念 224
7.1.2 常数项级数的收敛与发散 225
7.1.3 级数的基本性质 226
习题7.1 230
7.2 正项级数及其敛散性的判别法 231
7.2.1 正项级数收敛的基本定理 231
7.2.2 比较判别法 232
7.2.3 比值判别法 236
7.2.4 根值判别法 238
最7.2.5 积分判别法 239
习题7.2 240
7.3 任意项级数及其敛散性的判别法 241
7.3.1 交错级数及其收敛性判别法 242
7.3.2 绝对收敛与条件收敛 243
习题7.3 247
7.4 幂级数 249
7.4.1 函数项级数的概念 249
7.4.2 幂级数及其收敛域 250
7.4.3 幂级数及其和函数的运算性质 254
习题7.4 258
7.5 函数展开成幂级数 259
7.5.1 泰勒中值定理 259
7.5.2 泰勒级数 260
7.5.3 函数展开成幂级数的方法 262
最7.5.4 幂级数的应用举例 268
习题7.5 270
阅读材料 第7章 知识要点 271
第8章 向量代数与空间解析几何 272
8.1 空间直角坐标系 272
8.1.1 空间直角坐标系的概念 272
8.1.2 空间两点间的距离 273
习题8.1 273
8.2 向量及其线性运算 274
8.2.1 向量的概念 274
8.2.2 向量的线性运算 274
8.2.3 向量在轴上的投影 275
8.2.4 向量的坐标 276
8.2.5 向量线性运算的坐标表示 277
8.2.6 向量的模及方向余弦的坐标表示 278
习题8.2 279
8.3 向量的乘积运算 279
8.3.1 向量的数量积 279
8.3.2 向量的向量积 281
习题8.3 283
8.4 平面与空间直线 283
8.4.1 平面及其方程 284
8.4.2 空间直线及其方程 287
习题8.4 291
8.5 曲面与空间曲线 291
8.5.1 曲面及其方程 291
8.5.2 空间曲线及其方程 295
8.5.3 常见的二次曲面的标准方程及其图形 297
习题8.5 299
阅读材料 第8章 知识要点 299
第9章 多元函数微分学 300
9.1 多元函数的概念 300
9.1.1 平面点集 300
9.1.2 多元函数的定义 301
9.1.3 二元函数的极限 303
9.1.4 二元函数的连续性 305
习题9.1 307
9.2 偏导数 307
9.2.1 偏导数的概念 307
9.2.2 高阶偏导数 310
最9.2.3 偏导数在经济分析中的应用 311
习题9.2 313
9.3 全微分 314
9.3.1 全微分的概念 314
9.3.2 可微与连续、偏导数之间存在的关系 315
最9.3.3 全微分在近似计算中的应用 318
习题9.3 318
9.4 多元复合函数与隐函数的求导法则 319
9.4.1 多元复合函数的求导法则 319
9.4.2 隐函数的求导法则 323
习题9.4 326
9.5 多元函数的极值 327
9.5.1 二元函数的极值 327
9.5.2 二元函数的最大值与最小值 329
节选
第1章 函数 函数是现实世界中变量之间的相互依存关系在数学中的反映，也是微积分学研究的主要对象.中学时我们对函数的概念和性质已经有了初步的了解，本章将在复习中学有关函数内容的基础上，进一步介绍函数的简单性态以及基本初等函数和初等函数，并介绍一些经济学中常用的函数. 1.1 预备知识 1.1.1 集合的概念 1.集合及其表示法 在数学上，通常将具有某种确定性质的对象的全体称为集合，组成集合的每一个对象称为该集合的元素. 习惯上，用大写字母A，B，C， 表示集合，用小写字母a，b，c， 表示集合的元素.若a是集合A中的元素，则用a∈A来表示;若a不是集合A中的元素，则用a麬(或a∈A)来表示. 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，用表示. 表示集合的方法有两种:一是列举法，二是描述法.列举法，就是把它的所有元素一一列举出来，写在一个大括号内.例如，方程x2-1=0的解构成的集合可以表示为A={-1，1}.而描述法，就是指出集合中的元素所具有的性质.一般地将具有某种性质P的对象x所构成的集合表示为 A={x|x具有某种性质P}. 例如，直线x+y=1上的所有点构成的集合，可以表示为 A={(x，y)|x+y=1}. 只有一个元素x的集合称为单元素集，记作A={x}. 设有A，B两个集合.若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A糂(或者B紸);空集是任何集合的子集.若A糂且A紹，则称A与B相等，记作A=B. 2.数集 元素是数的集合称为数集，本书中所涉及的集合都是数集.通常用N表示自然数集，即N={0，1，2， }.用Z表示整数集，用R表示实数集，用Q表示有理数集，用C表示复数集.本书是在实数范围内研究函数. 对于数集，有时在表示数集字母的右上角添加“+”或者“-”，用来表示该数集中的所有正数或者所有负数构成的特定数集.例如，R+表示全体正实数构成的集合，R-表示全体负实数构成的集合，N+表示全体正整数构成的集合. 1.1.2 集合的运算 集合的基本运算主要有三种，即并集、交集与差集. 集合的并由集合A与B中的所有元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B}. 集合的交由集合A与B中所有公共元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即 A∩B={x|x∈A且x∈B}. 集合的差由含于A但不含于B的元素所构成的集合，称为A与B的差集，记作A-B(或AB)，即 A-B={x|x∈A但x麭}. 例如，N-{0}=N+，Z-N=Z-. 1.1.3实数的绝对值及其性质 1.实数的绝对值 对于任何一个实数x，它的绝对值定义为. 绝对值有以下基本性质: 对于任意的x∈R，有 (1)|x|≥0;当且仅当x=0时，才有|x|=0; (2)-|x|≤x≤|x|; (3)设k>0，则. 此处，记号表示“等价于”或“当且仅当”或“充分必要(条件)”，本书后面各章出现该记号时，也作同样的理解. 2.绝对值的运算性质 对于任意的x，y∈R，恒有 (1)|x+y|≤|x|+|y|(三角不等式); (2)|x|-|y|≤|x|-|y|≤|x-y|; (3)|x|+|y|2≥|xy|，当且仅当|x|=|y|时等号成立. 一般地，当xi∈R+时(i=1，2， ，n)，恒有 (均值不等式)， 其中，仅当x1=x2= =xn时等号成立; (4); (5). 下面仅就三角不等式进行证明. 证由绝对值的基本性质(2)，有， 从而有， 由绝对值的基本性质(3)，由于|x|+|y|≥0，于是得 |x+y|≤|x|+|y|. 1.1.4区间与邻域 区间与邻域都是微积分中常见的一类实数集. 1.区间 区间的记号和定义如下(其中a，b∈R且a 开区间(a，b)={x|a 以上区间统称为有限区间，a，b分别称为区间的左端点和右端点，b-a称为上述区间的长度.微积分中可以将区间的左端点延伸为-∞，右端点延伸为+∞.这类左端点为-∞或右端点为+∞的区间称为无限区间或无穷区间，具体定义和记号如下，其中+∞，-∞分别读作“正无穷大”与“负无穷大”，或“正无穷”与“负无穷”，它们仅仅是记号，不表示数.以后在不需要指明区间是开区间、闭区间或半开半闭区间，以及有限或无限区间的场合下，就简称它为区间，并且常用字母I表示这样一个泛指的区间. 2.邻域 以后讨论问题时，常常需要考虑由某点a附近的所有点构成的集合，这些点的集合就是邻域.具体地即为:设a为一个实数，δ>0，称开区间(a-δ，a+δ)为点a的δ邻域，记作U(a，δ)，即，点a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径(图1.1). 当不要求说明邻域的半径时，就将点a的邻域简记为U(a). 在邻域U(a，δ)中去掉中心a后得到的实数集 {x|00)邻域是(). A.(x0-δ，x0+δ］B.［x0-δ，x0+δ)C.［x0-δ，x0+δ］D.(x0-δ，x0+δ). 4.证明:当n∈N+，且a≥1时，有 na≤1+a-1n. (B) 试用均值不等式证明下列不等式: (1)当n∈N+时，有 nn 1.2 函数的概念与具有某种特性的函数 1.2.1 常量与变量 在实际问题中，人们经常会遇到各种各样的量，这些量一般可以分为两种:一种是在考察的某一变化过程中保持不变(取同一数值)的量，这种量叫常量;另一种是在考察的某一变化过程中可以发生变化的量(可以取不同数值)，这种量叫变量. 常量常用字母a，b，c，d等来表示;变量常用字母x，y，z，t，u，v等来表示. 常量与变量不是绝对的，而是相对的.一个量是常量还是变量要具体问题具体地分析.一般在研究问题时，为了简化，常常把变化很小或者对研究问题影响不大的量看作常量. 1.2.2 函数的概念 在同一个过程中，我们发现许多变量的变化不是孤立的，而是遵循一定的规律相互制约又相互依赖，这种变化规律通常可由变量在变化过程中的数值对应关系反映出来.例如，商品的总收入R与销售量Q、价格P之间的关系为R=PQ.数学上把这种变量之间的确定的对应关系称为函数关系. 定义1.2.1 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空实数集合.如果对于每一个x∈D，变量y按照一定的法则f，总有唯一确定的实数值与之对应，则称f为定义在D上的一个函数，或称y是x的函数，记作 y=f(x)，x∈D， 其中x称为函数f的自变量，y称为函数f的因变量.x的取值范围D称为函数f的定义域，记作Df或D(f)，即Df=D. 对于函数y=f(x)，当x取数值x0∈Df时，与x0对应的因变量y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记作f(x0)或y|x=x0，此时也称函数f(x)在点x0处有定义.当x取遍Df的各个值时，对应的函数值全体构成的集合称为函数f的值域，记作Rf或R(f)，即. 若，则称该函数在x0处无定义. 关于函数概念做以下几点说明: (1)“函数”一词是指对应法则f，而f(x)是与自变量x对应的函数值，应注意f与f(x)是有区别的.由于经常通过f(x)来表示与x的对应法则，为叙述方便，常将f(x)说成函数. (2)从函数的定义可以看出，确定一个函数的两个基本要素是定义域Df与对应法则f.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么不论使用什么样的函数记号以及不论它们的自变量与因变量选用什么字母表示，它们都是同一个函数. 例如，f(x)=1与g(x)=sin2x+cos2x表面形式虽不相同，但二者却是同一个函数;而f(x)=1与g(x)=xx，因为Df≠Dg，故二者是不同的函数.再如f(x)=1-cos2x与g(x)=sinx，因其对应法则不同，故二者是不同的函数；但y=x2与u=t2，二者是相同的函数. (3)函数的定义域Df就是自变量所能取得的那些数值构成的集合.它可分为两种:一种是在实际问题中，要根据问题的条件与实际意义来确定;另一种在理论研究中，如果函数是由数学表达式给出的，又无须考虑它的实际意义，那么函数的定义域就是使该表达式有意义的自变量x的一切可能取值所构成的数集.例如，由公式f(x)=25-x2给出的函数的定义域是闭区间［-5，5］.但是，如果x表示的是斜边长为5的直角三角形的一条直角边长时，此时f(x)表示的是另一条直角边的边长，此时该函数的定义域是开区间(0，5). 例1.2.1 求函数f(x)=4-x+1ln(x-2)的定义域. 解要使表示函数f(x)的表达式有意义，必须有，故函数的定义域为Df=(2，3)∪(3，4］. (4)在函数定义中，对于Df中的任一个x，对应的函数值y只有一个值时，这样的函数称为单值函数.如果对于Df中的某些x，它们中的每一个数x可能对应几个甚至无穷多个函数值y，这种情况不符合函数的定义，但为了方便也把它们称为多值函数.对于多值函数，可以通过附加条件将其分解成单值函数(称为单值分支)来研究.例如，单位圆的方程x2+y2=1确定了变量x和y之间的对应法则，显然当x∈(-1，1)时，对应的y值有两个.我们可以把它分解为两个单值分支y=1-x2和y=-1-x2，x∈［-1，1］进行分析讨论.如无特别说明，本书所讨论的函数都是指单值函数. (5)因变量y已由自变量x直接表达为y=f(x)形式的函数称为显函数，如y=lnx是显函数.而有时函数关系并不能直接表达为y=f(x)的形式，而是通过某个方程F(x，y)=0表示出来的.一般地，在一定的条件下，由一个方程F(x，y)=0确定的函数y=y(x)，并且y未被解成x的显函数的形式，则称为隐
