作者：柴俊 丁大公 陈咸平 等
页数：316
出版社：科学出版社
出版日期：2021
ISBN：9787030195371
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内容简介
本书共分上下两册，内容包括一元微积分学，级数理论，多元微积分学，常微分方程，解析几何。内容安排由浅入深，既有基本理论和方法的论述，又有应用背景的介绍；对难度较大的内容作了分阶段逐步深入的处理。习题配备难度适中，按基本题、较难题、总练习题三种层次安排。在概念和定理的讲解中注意用不同的方法论述。如图像、数值、解析等。并参考了近年来美国微积分教材。便于教与学。
目录
第8章 多元函数微分学及其应用 1
8.1 多元函数的基本概念 1
8.1.1 点集知识简介 1
8.1.2 多元函数的概念 3
8.1.3 多元函数的极限 5
8.1.4 多元函数的连续性 7
8.2 偏导数 9
8.2.1 偏导数 9
8.2.2 高阶偏导数 12
8.3 全微分 16
8.3.1 全微分的定义 16
8.3.2 函数可微的条件 16
8.3.3 全微分在近似计算中的应用 19
8.4 多元复合函数的求导法则 21
8.4.1 链法则 21
8.4.2 一阶全微分形式不变性 25
8.5 隐函数的求导法则 27
8.5.1 一个方程的情况 27
8.5.2 方程组的情形 30
8.6 方向导数和梯度 35
8.6.1 方向导数 35
8.6.2 方向导数的计算 36
8.6.3 梯度 37
8.7 多元函数微分学的几何应用 40
8.7.1 空间曲线的切线和法平面 40
8.7.2 曲面的切平面与法线 42
8.8 多元函数的极值及其求法 45
8.8.1 多元函数的极值及最大值、最小值 45
8.8.2 条件极值与拉格朗日乘数法 48
8.9 二元函数的泰勒公式 53
8.9.1 二元函数的泰勒公式 53
8.9.2 极值充分条件的证明 55
第8章总练习题 56
第9章 重积分 59
9.1 二重积分的概念与性质 59
9.1.1 二重积分的概念 59
9.1.2 可积性条件和二重积分的性质 63
9.2 二重积分的计算 65
9.2.1 应用直角坐标计算二重积分 65
9.2.2 应用极坐标计算二重积分 71
9.2.3 二重积分的换元法 78
9.3 三重积分 81
9.3.1 三重积分的概念和性质 81
9.3.2 三重积分的计算 83
9.4 重积分的应用 95
9.4.1 曲面的面积 95
9.4.2 物体的重心 97
9.4.3 平面薄板的转动惯量 99
第9章总练习题 101
第10章 曲线积分和曲面积分 103
10.1 第一型曲线积分 103
10.1.1 第一型曲线积分的概念 103
10.1.2 第一型曲线积分的计算 105
10.2 第二型曲线积分 109
10.2.1 第二型曲线积分的概念 109
10.2.2 第二型曲线积分的计算
10.3 格林公式第二型曲线积分与路径无关的条件 116
10.3.1 格林(Green)公式 116
10.3.2 曲线积分与路径无关的条件 123
10.4 第一型曲面积分 132
10.4.1 第一型曲面积分的概念 132
10.4.2 第一型曲面积分的计算 132
10.5 第二型曲面积分 137
10.5.1 第二型曲面积分的概念 137
10.5.2 第二型曲面积分的计算 139
10.6 高斯公式，通量与散度 144
10.6.1 流体通过空间封闭曲面的流出量 144
10.6.2 高斯(Gauss)公式 145
10.6.3 通量和散度 150
10.7 斯托克斯公式，环流量与旋度 151
10.7.1 斯托克斯(Stokes)公式 151
10.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 154
10.7.3 环流量与旋度 155
第10章总练习题 157
第11章 无穷级数 160
11.1 数项级数的概念和性质 160
11.1.1 无穷级数的概念 160
11.1.2 收敛级数的性质 163
11.1.3 柯西(Cauchy)收敛准则 166
11.2 正项级数 168
11.2.1 正项级数的收敛准则 168
11.2.2 比较判别法 170
11.2.3 比式判别法和根式判别法 172
11.3 一般项级数 176
11.3.1 交错级数 176
11.3.2 绝对收敛和条件收敛 178
11.3.3 绝对收敛级数的乘积 180
11.4 幕级数 182
11.4.1 函数项级数的概念 182
11.4.2 幕级数及其收敛半径 183
11.4.3 幕级数的运算 186
11.5 函数的幕级数展开式 189
11.5.1 泰勒(Taylor)级数 190
11.5.2 初等函数的幕级数展开式 192
11.5.3 近似计算 197
11.5.4 欧拉公式 199
11.6 傅里叶级数 201
11.6.1 三角级数，三角函数系的正交性 202
11.6.2 周期为拙的函数的傅里叶级数 203
11.6.3 周期为2l的函数的傅里叶级数 207
第11章总练习题 209
第12章 微分方程 211
12.1 微分方程的概念 211
12.2 一阶微分方程 214
12.2.1 可分离变量型微分方程 215
12.2.2 齐次型微分方程 217
12.2.3 可化为齐次型的微分方程 218
12.2.4 一阶线性微分方程 219
12.2.5 全微分方程 222
12.3 高阶微分方程 226
12.3.1 可降阶的微分方程 226
12.3.2 线性微分方程解的性质 228
12.3.3 二阶常系数线性齐次方程的解 233
12.3.4 二阶常系数线性非齐次方程的解 237
12.3.5 欧拉(Euler) 方程 245
12.4 一些简单的常系数线性微分方程组 248
12.4.1 消元法 248
12.4.2 首次积分 250
12.5 微分方程的幕级数解法 253
12.6 微分方程的简单应用 256
12.6.1 几何问题 256
12.6.2 混合问题 259
12.6.3 电路问题 260
12.6.4 力学问题 262
第12章总练习题 269
第13章 差分方程 274
13.1 差分与差分方程的概念 274
13.1.1 差分的概念 274
13.1.2 差分方程 275
13.2 常系数线性差分方程 276
13.2.1 线性差分方程解的性质 277
13.2.2 常系数线性齐次差分方程的解 277
13.2.3 常系数线性非齐次差分方程的解 280
13.3 差分方程应用举例 285
下册各章习题部分解答 288
节选
第8章 多元函数微分学及其应用 上册讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数。在实际问题中，还会遇到一个变量依赖于多个变量的情况，这就产生了多元函数的概念本章讨论多元函数的微分学及其应用，在讨论中以二元函数为主，这是因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，可以类推到二元以上的多元函数。在学习中应重点掌握一元函数与二元函数在许多知识点上的相同点和不同点。 8.1 多元函数的基本概念 8.1.1 点集知识简介 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，需将邻域和区间的概念加以推广。 1.邻域 定义8.1.1设P（a，b）是xOy平面上的一个点，是某一正数。与点P（a，b）距离小于6的点Q怡，y）的全体，称为点P的6邻域7记为U（P，Q），即在邻域U（只Q）中除去点P得到的平面点集，称为点P的6去心邻域记为UO（P，Q），即UO（P，Q）当不需要强调邻域半径6时，点P的邻域和去心邻域可分别记为U（P）和UO（P）。 2.内点、外，点、边界点和聚，点 定义8.1.2设E是xOy平面上的点集，点P0是xOy平面上的点。 （1）若存在Q>0，使得U（P0，Q）cE，则称点P0为点集E的内点。 （2）若存在n>0，使得U（P0，n）nE，则称点岛为E的外点 （3）若对任意ε>0，在U（P0，ε）内既有E的点又有不属于E的点，则称点P0为E的边界点。 边界点可能属于瓦也可能不属于E。E的边界点的全体称为E的边界，记为θE。 （4）若对于任意ε>0，总有UO（P0，E）nE则称点P0为E的聚点。显然，点集E的内点一定是E的聚点，外点一定不是聚点，边界点可能是聚点，也可能不是聚点。 例8.1.1 如图8.1，（1，1）是E的内点，Pl（2，2）是E的外点，P2（1，0），（2，0）及（0，0）都是E的边界点，其中凡7凡是E中的点，不是E中的点，P3是E的聚点，不是E的聚点。 图8.1 3.开集与区域 定义8.1.3E是xOy平面上的点集，若E中每一点都是E的内点，则称E为开集。 定义8.1.4E是xOy平面上的点集，若对E中任意两点，都可以用若干条含于E内的直线段组成的折线相连接，则称E是连通的。 定义8.1.5若xOy平面上的点集E是连通的开集，则称E为开区域，简称区域。开区域连同它的边界一起称为闭区域。 定义8.1.6 E是xOy平面上的点集，若存在k>0，使得E=U（O，k），其中为原点，则称点集E为有界集，否则称为无界集。 上面给出的E1，E4为有界集，E2，E3为无界集。 4. n维空问 我们知道R，R2和R3分别表示实数、二元有序实数组（X，y）和三元有序实数组（x，y，z）的全体。它们分别对应于直线、平面和空间。一般对确定的自然数n，我们称n元有序实数组（X1，X2， ，Xn）的全体为n维空间，记作Rn。称n元有序实数组为Rn中的一个点，数均为该点的第t个分量。 当n=1，2，3时上式就是直线、平面、空间两点间的距离。 前面针对平面点集引入的概念可推广到n维空间中如对维空间中的点集就定义为点P的6邻域。以邻域为基础，可定义点集的内点、外点、边界点和聚点，并进一步建立区域等概念。 8.1.2 多元函数的概念 1.二元函数的概念 定义8.1.7设有三个变量y，其中x，Y在平面点集D中取值。对每一个有序实数对（X，y）=D，按着某个确定的对应法则f，变量z总有第一确定的值与之对应，则称对应法则f是定义在点集D上的函数，记作z=f（x，y），其中队U为函数f的自变量，z为函数f的因变量，D为函数f的定义域。与点（xo，yo）D对应的值Zo=f（xo，yo）称为函数f在点（Xo，Yo）处的函数值。函数值的全体称为函数f的值域。 与一元函数一样，要求对定义域中每一个有序实数对（x，y），只有第一确定的值z与之对应，这样定义的函数称为单值函数如果不只一个z值与之对应，则为多值函数。本书不作特别说明时，讨论的函数均为单值函数。 我们常常会遇到二元函数的例子，如圆柱体的体积V是它的底面半径T和高h的函数：v=π2h，定义域D。 又如电阻R1，R2并联后的总电阻R是R1和R2的函数：R=二R1R2，定义域D=R1>0，R2>0。 与一元函数一样，二元函数的两个基本要素也是定义域与对应法则。 实际问题中定义域由问题的实际意义所确定，如上面刚刚提到的两个例子。对于一般用解析式表示的二元函数，约定使解析表达式有意义的所有（x，y）组成的集合为函数的自然定义域。例如，函数z=ln（x+y）的定义域为D，这是一个无界区域。又如函数z=cos（X2+y2）的定义域是D，这是一个有界的闭区域。 2.二元函数的图形 设f是定义域为D的二元函数，空间点集为f的图形。二元函数的图形是具有方程z=f（x，y）的曲面（图8.2）。这个曲面在坐标平面xOy上的投影就是函数的定义域D。 图8.2 二元函数的例子是以原点为球心，半径为1的球的上半球面，是以原点为顶点，开口向上的圆锥面。