作者：孟翔燕
页数：264
出版社：科学出版社
出版日期：2021
ISBN：9787030541062
电子书格式：PDF
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内容简介
本书结合教育部关于高等教育线性代数教学基本要求和编者们多年教学经验编写而成。共有6章：行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性空间与线性变换、二次型，以及数学软件MATLAB在线性代数中的应用。
目录
前言
第1章 行列式 1
1.1 二阶行列式与三阶行列式 1
1.2 排列 5
1.3 n阶行列式 6
1.4 行列式的性质 10
1.5 行列式按行 (列) 展开 13
1.6 行列式的计算 16
1.7 克拉默法则 18
1.8 行列式应用案例与研究背景 21
习题1 24
第2章 矩阵 28
2.1 矩阵 28
2.2 矩阵的运算 33
2.3 可逆矩阵 39
2.4 初等矩阵 43
2.5 矩阵的分块 47
2.6 矩阵应用案例与研究背景 55
实验一 行列式与矩阵的基本运算 58
实验习题 73
习题2 74
第3章 线性方程组 80
3.1 消元法 80
3.2 n维向量及其线性相关性 84
3.3 矩阵的秩 95
3.4 线性方程组有解的判别定理 99
3.5 线性方程组解的结构 106
3.6 线性方程组应用案例与研究背景 112
实验二 线性方程组求解 116
实验习题 126
习题3 128
第4章 矩阵的特征值与特征向量 134
4.1 特征值的概念与性质 134
4.2 矩阵的对角化问题 142
4.3 实对称矩阵 145
4.4 矩阵的特征值与特征向量应用案例与研究背景 154
实验三 向量的内积与正交矩阵、特征值与特征向量 157
实验习题 169
习题4 170
第5章 二次型 176
5.1 二次型与对称矩阵 177
5.2 二次型的基本性质 181
5.3 用正交变换化二次型为标准形 186
5.4 正定二次型 193
5.5 二次型应用案例与研究背景 197
实验四 二次型化标准形及其正定的判别 199
实验习题 203
习题5 204
第6章 线性空间与线性变换 207
6.1 线性空间的定义与性质 207
6.2 维数、基与坐标 211
6.3 基变换与坐标变换 213
6.4 线性变换 216
6.5 线性变换的矩阵表示式 219
习题6 224
Matlab软件的基本操作方法 227
部分习题参考答案 243
参考文献 256
节选
第1章 行列式 行列式的概念最早是由17世纪日本数学家关孝和提出来的。它是一种有效的计算工具，在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用。特别是在本课程中，它是研究线性方程组、矩阵及向量组线性相关性的一种重要工具。 1.1 二阶行列式与三阶行列式 1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 (1.1.1) 易知，当时，求得方程组(1.1.1)的解为 (1.1.2) 这就是一般二元线性方程组的公式解。但这个公式不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示这个结果，这就是行列式的起源。 定义1.1.1 记号表示代数和，称为二阶行列式， 即 其中数a11，a12，a21，a22叫做行列式的元素，横排叫做行，竖排叫做列。元素aij的第一个下标i叫做行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j叫做列标，表明该元素位于第j列。由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和。这个规律性表现在行列式的记号中就是“对角线法则”。如图1-1所示为二阶行列式对角线法则，把a11到a22的实连线称为主对角线，把a12到a21的虚线称为副对角线，于是，二阶行列式便等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。 图1-1 二阶行列式对角线法则 利用二阶行列式的定义，记 于是，在行列式D6=0的条件下，方程组(1.1.1)有第一解 (1.1.3) 从形式上看，这里分母是由方程组(1.1.1)的系数所确定的二阶行列式(称为系数行列式)，x1的分子D1是用常数项b1，b2替换D中x1的系数a11，a21所得的二阶行列式，x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中x2的系数a12，a22所得的二阶行列式。本节后面讨论的三元线性方程组亦有类似的规律性。 例1 用二阶行列式解二元线性方程组 解 因为，故方程组有第一解： 1.1.2 三元线性方程组与三阶行列式 类似地，为了得出关于三元线性方程组 解的简洁表达式，我们引入三阶行列式。 定义1.1.2 记号表示代数和 称为三阶行列式，即 (1.1.4) 由上述定义可见，三阶行列式有六项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠以正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”(图1-2)来表述。 图1-2 三阶行列式对角线法则 例2 计算三阶行列 解 例3 求解方程 解 方程左端的三阶行列式记为D，则 由x2.5x+6=0，解得x=2或x=3。 类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组 记 当D≠0时，则该方程组有第一解 它的结构与前面二元一次方程组的解类似。 例4 解三元线性方程组 解 方程组的系数行列式 故所求方程组的解为 1.2 排列 为了给出n阶行列式的定义，本节先介绍有关排列的概念和性质。 1.2.1 排列的相关概念 定义1.2.1 自然数1；2； ；n按照一定次序不重复地排成一列，称为一个n级排列(简称排列)。 例如，1234和3412都是一个4级排列，而52341是一个5级排列。由自然数1，2，3组成的所有3级排列为123，132，213，231，312，321，共有3！=6个。 数字由小到大的n级排列1234 n称为自然数顺序排列。 定义1.2.2 在一个n级排列i1i2 is it in中，若数is>it，则称is与it构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为N(i1i2 in)。 容易看出，自然数顺序排列的逆序数为0。 根据上述定义，可按下面方法计算排列的逆序数. 设有一个n级排列i1i2 in，比ik(k=1，2， ，n)大且排在ik前面的数共有tk个，则ik的逆序数为tk，那么该排列中所有自然数的逆序数之和就是这个排列的逆序数，即 例1 计算排列52341的逆序数。 解 因为5排在首位，故其逆序数为0； 在2前面且比2大的数有1个，故其逆序数为1； 在3前面且比3大的数有1个，故其逆序数为1； 在4前面且比4大的数有1个，故其逆序数为1； 在1前面且比1大的数有4个，故其逆序数为4。 于是，这个排列的逆序数为 N(52341)=0+1+1+1+4=7： 定义1.2.3 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。 例2 试求排列n(n.1) 321的逆序数，并讨论其奇偶性。 解 因为n排在首位，故其逆序数为0； 在n-1前面且比n-1大的数有1个，故其逆序数为1； 在n-2前面且比n-2大的数有2个，故其逆序数为2； 在2前面且比2大的数有n-2个，故其逆序数为n-2； 在1前面且比1大的数有n-1个，故其逆序数为n-1。 于是，所求排列的逆序数为 容易得出，当n=4k，n=4k+1时，该排列为偶排列；当n=4k+2，n=4k+3时，该排列为奇排列。 定义1.2.4 在一个n级排列i1 is it in中，如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1 it is in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)。将相邻两个元素对换，称为相邻对换。 例如，将排列3412中的4与2对换，得到新排列3214。 1.2.2 排列的性质 性质1.2.1 任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变。 例如，偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214。反之，奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412。 性质1.2.2 奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。 证明 由性质1.2.1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而自然数顺序排列是偶排列(逆序数为0)，因此结论成立。 性质1.2.3 n个自然数(n>1)共有n！个n级排列，其中奇偶排列各占一半。 证明 设在n！个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个。若对每个奇排列都作同一对换，则由性质1.2.1，p个奇排列均变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以p≤q；同理对每个偶排列都作同一对换，则q个偶排列均变为奇排列，于是又有q≤p，所以p=q，即奇排列与偶排列的个数相等。 1.3 n阶行列式 这里由二阶、三阶行列式的计算特点的研究，进一步引出n阶行列式的定义。