作者：陈伯勇
页数：164
出版社：科学出版社
出版日期：2022
ISBN：9787030714978
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内容简介
本书的内容分为两部分：拟凸域上的$L^2$理论以及完备Kaehler流形上的$L^2$理论，分别采用了Hormander的三权技巧以及Andreotti-Vesentini-Demailly的完备Kaehler度量技巧，仅对复分析或是复几何感兴趣的读者可以选择相应的部分阅读。本书的读者要求具备实变函数、多复变函数、泛函分析、微分几何、偏微分方程等方面的预备知识。
目录
《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 预备知识 1
1.1 泛函分析基本知识 1
1.2 Sobolev空间基本知识 3
第2章 平面区域上最方程的最估计 6
2.1 Dirichlet原理 6
2.2 Poisson方程 10
2.3 H.rmander估计 (一维情形) 12
2.4 Carleman估计 15
第3章 拟凸域上 最方程的 L2估计 18
3.1 Morrey-Kohn-H最rmander公式 18
3.2 Laplace-Beltrami方程 (Dirichlet条件) 20
3.3 H最rmander估计 27
第4章 H最rmander估计的应用 35
4.1 全纯函数的构造 35
4.2 多次调和函数的奇性 44
第5章 H.rmander估计的一些变形 49
第6章 拟凸域上的 L2延拓定理 55
6.1 Ohsawa-Takegoshi延拓定理 55
6.2 命题 6.1.3的证明 58
6.3 应用 60
第7章 K.hler流形与 Hermitian线丛 67
7.1 K.hler流形 67
7.2 Hermitian线丛 74
7.3 Bochner-Kodaira-Nakano公式 77
7.4奇异 Hermitian度量的 C∞逼近 89
第8章 完备 K.hler流形上的 L2估计 96
8.1 Laplace-Beltrami方程 (Dirichlet条件) 96
8.2 L2估计 97
8.3 应用 108
第9章 完备 K最hler流形上的 L2延拓定理 122
9.1 Ohsawa-Takegoshi型延拓定理 122
9.2 多亏格的形变不变性 130
参考文献 137
附录 140
A.定理 3.2.3的证明 140
B.定理 7.1.13的证明 142
索引 146
《现代数学基础丛书》已出版书目 148
节选
第1章 预备知识 1.1 泛函分析基本知识 设X是实或复数域最上的一个线性空间，称X上的一个非负实值函数 最为范数，若下列条件满足: (1) ; (2) ; (3) . 若 X相应于距离最是完备的 ，则称 X为一个 Banach空间. 赋范线性空间最上的一个连续线性泛函指一个连续线性映射 最.记 最为 X上的连续线性泛函全体 ，其按通常的线性运算及泛函的范数作为范数构成一个赋范线性空间 ，称为 X的共轭空间.共轭空间总是 Banach空间 .同样 ，我们可以定义 X的二次共轭空间最. 对于每一个 最，作 最上的泛函最如下:
我们总有最，使得自然嵌入最给出了一个 X到其象最之间的保范同构.为了简单起见 ，我们把 X和最视为同一 ，这样最.如果 最，则称 X为自反的. 一个非常重要的自反空间的例子是最空间 ，其中 1 为一个 Banach空间 (在本书第1—6章，积分均指 Lebesgue积分 ，为简单起见我们略去微元 ).由于最，其中最，故最在 1 < p < ∞时是自反的. 设 X为一个赋范空间， 最，若存在最，使得
则称 xj 弱收敛于 x.弱收敛的一个基本性质是 定理 1.1.1(Banach-Alaoglu)设 X是一个自反的 Banach空间，那么 X中的任意有界点列必有一个弱收敛子列. 若赋范空间 X的范数满足下面的平行四边形公式
那么在 X上必定存在一个内积 最，使得 (1); (2); (3 .
此时称 X为一个内积空间.若最是完备的，则称其为一个 Hilbert空间.一个重要的 Hilbert空间的例子是 L2空间 . Hilbert空间区别于一般的 Banach空间的基本性质是下面的正交分解性质:设 X0为 X的闭子空间，则对任意的最，存在唯一的分解
其中 最，即 最. 下面的表示定理是证明偏微分方程解的存在性的基本工具. 定理 1.1.2(F. Riesz)设 X是一个 Hilbert空间，最 ，则存在唯一的最，使得最且 设 X1，X2为 Hilbert空间 ， 最为一个有界线性算子 ，则存在唯一的有界线性算子 最，使得
其中 最与 最分别为 X1与 X2的内积 .我们称 最为 T的共轭算子或伴随算子. 现设 T为 X1的某个稠密子空间 D1到 X2的线性映射 (不一定有界).假设存在 X2的一个稠密子空间 D2以及线性映射最，使得
则称 最为 T的 (相应于 D1， D2的)形式伴随算子 .在本书中我们往往取 Xj， j =1， 2为某类 (加权 ) L2空间 ，而 Dj为其中具有紧支集的 C∞元素所组成的稠密子空间. 1.2 Sobolev空间基本知识 对于多重指标 最，我们采用下面的标准记号:
设最为最中的区域 ，记最为最上具有紧支集的 C∞函数全体.对于(即最上的局部可积函数 )，称 v为 u的 α阶广义导数或弱导数，若 此时记 最. 设 1最，我们在线性空间
上引入范数
那么 最构成一个 Banach空间 ，称其为 Sobolev空间 .注意到 最为 Hilbert空间 .与最类似 ， 也是自反的. 子空间最在最中稠密，但是一般来说，最在 最中不稠密.我们记 最为最在最中的闭包，则其也是一个 Banach空间 ，而最是一个 Hilbert空间 ，特别地 ， 最在本书中起着重要的作用. 我们称一个 Banach空间 X1连续地嵌入至另一个 Banach空间 X2 (记作最)，若存在一个有界、一对一的线性映射 最 Sobolev空间理论的核心定理是下面的嵌入定理: 定理 1.2.1(Sobolev) 记 最为对应于 最的弱导数.我们考虑下列形式的算子
其中 最为最上的可微函数， 最为最上的局部有界的可测函数.设最称最为方程最的一个广义解或弱解，若
类似地，我们可以定义方程组的弱解. 若算子 L的系数矩阵(在最中的每点)是正定的，那么称 L为椭圆的.若进一步假设 (aij)的最大特征值与最小特征值之比有界，那么称 L为一致椭圆的. 第2章 平面区域上最方程的 L2估计 2.1 Dirichlet原理 设最为最中的有界区域 ，我们考虑下面的广义 Dirichlet问题:对于给定的最，寻找最上的调和函数 u0，使得最. 记 最以及最. 定理 2.1.1(Dirichlet原理[10，11]) 存在最，使得 而且 u0在最上是调和的. 证明 记最.我们可取一列 最，使得最.由于
以及
故而 (2.1) 先假设已经证明了下面的 Poincaré不等式 (2.2)
