医学高等数学:案例版

作者：郭东星，杨晶主编

页数：200页

出版社：科学出版社

出版日期：2021

ISBN：9787030689139

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内容简介

为适应社会发展对医学生的新要求以及医学院校不同专业对高等数学知识的需求，不断完善学科知识结构，优化教材内容，我们对第2版教材进行了修订。《医学高等数学（案例版，第3版）》共九章，涵盖了微积分学、常微分方程、线性代数基础、概率论初步等教学内容。此次修订增加了一个章节，将多元微积分学分成了两个章节，增加了三重积分和级数的内容，并对章节顺序进行了调整。同时对部分例题和习题也做了相应的调整和精选。

目录

节选

第一章函数、极限与连续 Function and Limit and continue 案例1-1 当X射线经过机体组织或别的物质时，它的能量要被吸收一部分.设原来的强度为I0，经过单位厚度的物质时有p%吸收. 问题：试问经过d单位厚度的物质时，剩下的强度I等于多少？ 函数是事物间量与量相互联系、相互制约规律的数学抽象，是表达变量间复杂关系的基本数学形式，是高等数学的主要研究对象.极限则动态地刻画了变量的运动和演进的变化趋势，是高等数学的基本研究方法.有了极限，人们才可能以高于初等数学的观点和方法来研究函数.本章在初等数学基础上，进一步介绍函数、极限的基本内容，并引出连续的概念和性质，为学习一元微积分奠定基础. 第一节函数 函数概念的萌芽可以追溯到古代对图形的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着某种规律. 一、 函数的概念 事物的发展和变化，本质上是量的演变.如果在所考虑的问题或变化过程中，一个量始终保持同一数值，这样的量称为常量(constant).如果在所考虑的问题或变化过程中，一个量可以有不同的数值，这样的量称为变量(variable).例如，圆的面积S=π×r2，其中，π为常量，r为圆的半径，而面积S与半径r可以取不同的值，视为变量；再如，儿童服药的剂量常取决于儿童的体重，如果治疗时间较短，该儿童体重可视为常量；若此疗程长达数年，其体重就是一个变量，因此，一般可以把常量看成特殊的变量. 函数是数学中最主要的概念之一，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用. 定义1.1设x和y是某变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，按照一定的对应法则，变量y总有一个确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数(function).变量x称为自变量(independent variable)，变量y称为因变量(dependent variable)，记为 y=f(x)，x∈D D是自变量x的所有允许值的集合，称为函数的定义域(domain).而因变量y的所有对应值的集合称为函数的值域(range). 从函数的定义可知，函数的定义域和对应法则是函数的二要素，一旦二者确定，函数的值域也就相应地确定了. 在数学中，通常不考虑函数的实际意义，而抽象地用算式表达函数，因此约定函数的定义域就是使函数有意义的自变量取值的全体. 例1.1 确定下列函数的定义域. (1) (2) 解要求函数的定义域，只需求出使函数有意义的x的取值范围. (1) 要使函数有意义，必有 解此不等式组得x>1或x≤-1，所以该函数的定义域可表示为 (2) 要使函数有意义，必有1-x3>0且3-2x≥0，所以该函数的定义域可表示为(-∞，1). 实际问题中，求函数的定义域要注意其实际意义. 例1.2在自由落体运动中，设物体下落的时间为t，下落的高度为h，运动规律为s=12gt2，其中g为重力加速度，求函数s的定义域. 解从抽象的算式看，t可以取一切实数值，但考虑到实际意义，显然应有t≥0且0≤s≤h，而t=2sg，故定义域为0，2hg. 例1.32003年中国非典型肺炎(SARS)流行时，感染人数随时间变化的规律通过实际观测的数据表示，我们用最引人关注的时间段里公布的全国疫情报告中的8组数据来反映新增病例数N与时间t的关系，见表1.1. 表1.12003年全国SARS流行高峰期新增病例报告 图1.1 将表1.1中的数据(ti，Ni)以描点的形式标记在坐标平面上，然后用光滑的曲线连接这些点.则此曲线N=N(t)也表示这个时间段全国新增病例数N与时间t的关系，此为图形表示法，见图1.1. 还可以用解析式法表示N与时间t的关系.由于影响新增病例数N的因素很多，绝非一个时间变量t所能完全确定的，故N=N(t)这类解析式只能近似模拟这种关系，例如用N(t)=α+βtγ来拟合这一关系，这里α、β、γ均为常数，在流行病学中有具体含义. 上述函数均为单值函数，即自变量x在其定义域上取值时，函数y只有一个确定的值与之对应.如果y有两个或两个以上的值与之对应，称y为x的多值函数，如y=±x. 函数的表达方式通常有公式法、图像法和表格法，甚至可以用一段文字来表述. 二、 分段函数 在生物、医学和工程技术等应用中，经常遇到一类函数，当自变量在不同范围内取值时，其表达式也不同，这类函数就是分段函数.历史上最著名的Dirichlet函数就是一个分段函数： 定义1.2在定义域的不同范围上，用不同的解析式来表达的一个函数，称为分段函数(piecewise function). 例1.4x为任意实数，不超过x的最大整数称为x的取整函数.记为f(x)=［x］.例如［π］=3，［3］=1，25=0，-25=-1，取整函数的定义域是(-∞，+∞)，值域是整数集Z，这是一个分段函数，它的图形是阶梯状的，见图1.2. 图1.2 例1.5 在生理学研究中，血液中胰岛素浓度c(t)(单位/毫升)随时间t(min)变化的经验公式为 式中k为常数，这是一个分段函数，见图1.3. 图1.3 图1.4 例1.6未成年人服药剂量的Cowling公式为c=(a+1)d24，根据此公式，到多大年龄时，该剂量达到成人剂量？(d为成人剂量) 显然，令c=d可解出a=23，故Cowling公式应为 这是一个分段函数，见图1.4. 三、 复合函数 定义1.3设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=φ(x)，若x在u=φ(x)的定义域或其子集上取值时，所对应的u值使y=f(u)有定义，则称y是x的复合函数(compound function)，记为y=f(φ(x)).其中，u称为中间变量(intermediate variable). 例1.7求由y=eu，u=v+sinv，v=1-2x构成的复合函数. 解u是y的中间变量，v是u的中间变量，依次代入可得y=e1-2x+sin(1-2x). 例1.8求由函数y=u3和u=sinx构成的复合函数和由函数y=sinu和u=x3构成的复合函数. 解(1) 由函数y=u3和u=sinx构成的复合函数是 y=sin3x； (2) 由函数y=sinu和u=x3构成的复合函数是 y=sinx3. 以上是两个或两个以上函数层层“嵌套”构成的复合函数.但需注意，不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的，如y=1-u及u=x2+2就不能复合成一个复合函数.因为函数u=x2+2的值域为［2，+∞)，在此区间上y=1-u没有意义. 我们不仅要学会把若干个函数复合成一个复合函数，而且要善于把一个复合函数分解成若干个简单的函数.所谓简单函数，是指基本初等函数或是常数与基本初等函数四则运算后的结果. 例1.9试分解复合函数y=tan2（5-2x）. 解显然是由y=u2，u=tanv，v=w12，w=5-2x复合而成. 例1.10试分解复合函数y=lg2［cot(x2+1)］. 解y=u2，u=lgv，v=cotw，w=x2+1. 四、 初等函数 1.基本初等函数 通常把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等五类函数统称为基本初等函数(basic elementary function).见表1.2. 表1.2基本初等函数表 续表